.

0 (hodnocen0 x )

BK

1. vyd.

Bratislava : Marenčin PT, 2011

741 s. : il. ; 24 cm

ISBN 978-80-8114-111-9 (váz.)

Obsahuje bibliografii na s. [713]-714 a rejstřík

000236226

Predhovor 15 // Schéma nadväznosti kapitol 20 // I Základné pojmy // 0 Základné pojmy z logiky a teórie množín 23 // 0.1 Logické spojky a kvantifikátory 23 // 0.2 Množiny 24 // 0.3 Zobrazenia 27 // 0.4 Binárne operácie 30 // 0.5 Permutácie 31 // 0.6 Ekvivalencie a rozklady 34 // 0.7 O matematických dôkazoch 36 // 0.8 Matematická indukcia a rekurzia 38 // Cvičenia 40 // 1 Polia a vektorové priestory 45 // 1.1 Základné číselné obory 45 // 1.2 Polia 46 // 1.3 Polia Zp 48 // 1.4 Vektory v rovine a v trojrozmernom priestore 49 // 1.5 Vektorové priestory 51 // 1.6 Príklady vektorových priestorov 52 // Cvičenia 55 // 2 Základy maticového počtu 58 // 2.1 Matice nad danou množinou 58 // 2.2 Matice nad daným poľom 61 // 2.3 Matice nad vektorovým priestorom 66 // Cvičenia 68 // 3 Sústavy lineárnych rovníc 71 // 3.1 Maticový zápis sústavy lineárnych rovníc 71 // 3.2 Redukovaný stupňovitý tvar matice 72 // 3.3 Gaussova-Jordánová eliminačná metóda 75 // 3.4 Gaussova eliminačná metóda 80 // Cvičenia 81 // 4 Lineárne podpriestory a lineárna nezávislosť 84 // 4.1 Lineárne podpriestory vektorového priestoru 84 // 4.2 Lineárny obal množiny vektorov 85 // 4.3 Prienik a súčet lineárnych podpriestorov 87 // 4.4 Lineárna nezávislosť 88 // 4.5 Lineárny obal a lineárna nezávislosť v priestoroch K171 91 // 4.6 Lineárne nezávislé postupnosti a množiny 94 // Cvičenia 95 // 5 Báza a dimenzia 97 // 5.1 Steinitzova veta a konečnorozmerné priestory 97 // 5.2 Báza a dimenzia konečnorozmerného priestoru 98 // 5.3 Súradnice vektora vzhľadom na danú bázu 99 // 5.4 Dimenzia prieniku, súčtu a súčinu vektorových priestorov 102 // 5.5 Usporiadané a neusporiadané bázy 104 // 5.6 Fyzika v n-rozmernom priestore 106 // Cvičenia 109 // 6 Lineárne zobrazenia 113 // 6.1 Lineárne zobrazenia 113 //

6.2 Jadro a obraz lineárneho zobrazenia 116 // 6.3 Lineárne izomorfizmy 117 // 6.4 Matica lineárneho zobrazenia 119 // 6.5 Priestory lineárnych zobrazení 123 // Cvičenia 125 // 7 Inverzné matice a zmena bázy 130 // 7.1 Hodnosť matice 130 // 7.2 Inverzné matice a inverzné lineárne zobrazenia 132 // 7.3 Výpočet inverznej matice 133 // 7.4 Matica prechodu 135 // 7.5 Matice lineárneho zobrazenia vzhľadom na rôzne bázy 137 // 7.6 Pohyblivé bázy 139 // Cvičenia 141 // 8 Afinné podpriestory a afinné zobrazenia 145 // 8.1 Body a vektory 145 // 8.2 Afinné podpriestory 146 // 8.3 Prienik a spojenie afinných podpriestorov 150 // 8.4 Vzájomná poloha afinných podpriestorov 153 // 8.5 Afinné zobrazenia 154 // Cvičenia 158 // 9 Afinné podpriestory a sústavy lineárnych rovníc 161 // 9.1 Podpriestor riešení homogénnej sústavy a jeho báza 161 // 9.2 Podpriestor riešení nehomogénnej sústavy 162 // 9.3 Frobeniova veta a riešenie nehomogénnej sústavy 163 // 9.4 Parametrické a všeobecné rovnice afinných podpriestorov 164 // 9.5 Rovnice prieniku a spojenia afinných podpriestorov 168 // Cvičenia 173 // 10 Determinanty 177 // 10.1 Orientovaný objem a multilineárne alternujúce funkcie 177 // 10.2 Definícia a základné vlastnosti determinantu 182 // 10.3 Charakterizácia determinantu a regulárnych matíc 184 // 10.4 Laplaceov rozvoj determinantu 186 // 10.5 Výpočet determinantu 187 // 10.6 Inverzná matica a Cramerovo pravidlo 191 // Cvičenia 193 // II Bilineárne formy a geometria // 11 Bilineárne a kvadratické formy 199 // 11.1 Bilineárne zobrazenia a bilineárne formy 199 // 11.2 Symetrické bilineárne formy a kvadratické formy 203 // 11.3 Diagonalizácia kvadratických foriem 206 // Cvičenia 214 // 12 Bilineárne a kvadratické formy nad pofom R 217 // 12.1 Signatúra 217 // 12.2 Definitnosť 220 //

12.3 Extrémy funkcií viacerých premenných 224 // Cvičenia 230 // 13 Euklidovské priestory 233 // 13.1 Skalárny súčin 233 // 13.2 Gramova matica a Cauchyho-Schwartzova nerovnosť 235 // 13.3 Dĺžka vektora a uhol dvoch vektorov 237 // 13.4 Ortogonálně a ortonormálně bázy 239 // 13.5 Ortogonálně matice 246 // Cvičenia 248 // 14 Ortogonálně projekcie a podpriestory 251 // 14.1 Ortokomplement a ortogonálna projekcia 251 // 14.2 Vzdialenosť dvoch afinných podpriestorov 256 // 14.3 Odchýlka dvoch afinných podpriestorov 258 // 14.4 Polárne a sférické súradnice 262 // 14.5 Riešenie neriešiteľných sústav a lineárna regresia 265 // 14.6 Geometria pravdepodobnosti 270 // Cvičenia 271 // 15 Objem, orientácia a vektorový súčin 276 // 15.1 Objem 276 // 15.2 Orientácia 278 // 15.3 Orientovaný objem 280 // 15.4 Vektorový súčin 282 // Cvičenia 286 // 16 Úvod do špeciálnej teórie relativity 287 // 16.1 Pseudoeuklidovské priestory 288 // 16.2 Minkowského časopriestor 291 // 16.3 Inerciálny pozorovateľ a jeho svetočiara 294 // 16.4 Relativita súčasnosti 298 // 16.5 Inerciálně bázy a vzťažné sústavy 300 // 16.6 Paradox dvojčiat 301 // 16.7 Relatívna rýchlosť dvoch inerciálny ch pozorovateľov 303 // 16.8 Relativistická dilatácia času 305 // 16.9 Lorentzova transformácia 307 // 16.10 Relativistická kontrakcia dĺžky 310 // Cvičenia 311 // 17 Unitárně priestory 314 // 17.1 Poldruhalineárne formy 314 // 17.2 Hermitovské formy a hermitovské matice 316 // 17.3 Komplexný skalárny súčin a unitárně priestory 317 // 17.4 Unitárně matice 321 // 17.5 Diskrétna Fourierova transformácia 322 // 17.6 Stavové priestory v klasickej mechanike 327 // 17.7 Kvantová mechanika 330 // 17.8 Stavovové priestory v kvantovej mechanike 333 // Cvičenia 336 //

III Lineárne operátory // 18 Vlastné hodnoty a vlastné vektory 341 // 18.1 Matica lineárneho operátora a podobnosť matíc 341 // 18.2 Vlastné hodnoty a vlastné vektory 343 // 18.3 Charakteristický polynom 346 // 18.4 Príklady 347 // 18.5 Lineárne operátory na nekonečnorozmerných priestoroch 350 // Cvičenia 352 // 19 Spektrum lineárneho operátora 354 // 19.1 Spektrum lineárneho operátora a matice 354 // 19.2 Schurova veta o triangularizácii 358 // 19.3 Rozšírenia polí, algebraicky uzavreté polia 361 // 19.4 Komplexifikácia 364 // 19.5 Geometrický význam komplexných vlastných čísel 366 // Cvičenia 368 // 20 Jordánov kanonický tvar 372 // 20.1 Jordánov kanonický tvar matice 372 // 20.2 Príklady úpravy matíc na Jordánov kanonický tvar 375 // 20.3 Prípad viacnásobného komplexného vlastného čísla 381 // 20.4 Rozklad na koreňové podpriestory 383 // 20.5 Nilpotentné operátory 386 // 20.6 Ešte raz úprava na JKT 391 // Cvičenia 393 // 21 Polynomické invarianty podobnosti matíc 396 // 21.1 Polynomické maticové funkcie 396 // 21.2 Minimálny polynóm 400 // 21.3 Cyklické podpriestory 402 // 21.4 Primárny a racionálny kanonický tvar 403 // 21.5 Výpočet invariantných faktorov 406 // Cvičenia 411 // 22 Maticové funkcie 414 // 22.1 Mocninné rady maticovej premennej 414 // 22.2 Exponenciála matice 420 // 22.3 Skalárně funkcie maticového argumentu 422 // 22.4 Maticové a vektorové funkcie reálnej premennej 425 // 22.5 Sústavy lineárnych diferenciálnych rovníc 428 // 22.6 Autonómne sústavy 432 // 22.7 Komutátor 437 // Cvičenia 439 // 23 Združené lineárne operátory 442 // 23.1 Združené lineárne operátory 442 // 23.2 Hermitovské operátory 444 // 23.3 Spektrálny rozklad hermitovského operátora 445 // 23.4 Unitárně operátory 448 // 23.5 Štruktúra ortogonálnych operátorov 451 //

23.6 Eulerove uhly 456 // 23.7 Normálne operátory 458 // Cvičenia 463 // 24 Kvadriky 466 // 24.1 Veta o hlavných osiach 466 // 24.2 Kvadriky v euklidovských priestoroch 467 // 24.3 Kužeľosečky 471 // 24.4 Kvadratické plochy 476 // Cvičenia 482 // 25 Vybrané aplikácie združených operátorov 486 // 25.1 Singulárny a polárny rozklad 486 // 25.2 Pseudoinverzné lineárne zobrazenia a matice 488 // 25.3 Odchýlka dvoch lineárnych podpriestorov 492 // 25.4 Harmonický oscilátor 494 // 25.5 Harmonický oscilátor a Fourierove rady 496 // Cvičenia 498 // 26 Hermitovské operátory v kvantovej mechanike 501 // 26.1 Pozorovateľné veličiny a hermitovské operátory 502 // 26.2 Heisenbergov vzťah neurčitosti 503 // 26.3 De Broglieho vlnové funkcie 505 // 26.4 Pozorovateľná polohy 507 // 26.5 Vlastné funkcie operátora polohy - Diracova á-funkcia 508 // 26.6 Pozorovateľná hybnosti 510 // 26.7 Polohová a hybnostná reprezentácia - Fourierova transformácia 514 // 26.8 Ďalšie pozorovateľné - momenty hybnosti 516 // 26.9 Hamiltonián a Schrödingerova rovnica 518 // 26.10 Kvantový harmonický oscilátor 522 // Cvičenia 528 // IV Grupy a algebry // 27 Úvod do teórie grúp 533 // 27.1 Abstraktný pojem grupy 533 // 27.2 Podgrupy, generujúce množiny, cyklické grupy 536 // 27.3 Homomorfizmy a izomorfizmy 539 // 27.4 Rozklad grupy podľa podgrupy, normálne podgrupy 542 // 27.5 Faktorové grupy 545 // 27.6 Priamy súčin grúp 549 // 27.7 Voľné a konečne prezentované grupy 553 // 27.8 Grupy homomorfizmov a charaktery abelovských grúp 557 // Cvičenia 560 // 28 Grupy transformácií 566 // 28.1 Cayleyho veta o reprezentácii 566 // 28.2 Akcie a reprezentácie grúp 567 // 28.3 Grupy automorfizmov a konjugácia 570 // 28.4 Polopriamy súčin grúp 574 // 28.5 Štruktúra grúp jednoduchých rádov 577 // Cvičenia 578 //

29 Lineárne a afinné grupy 583 // 29.1 Všeobecná a špeciálna lineárna grupa 583 // 29.2 Afinné rozšírenia lineárnych grúp 585 // 29.3 Izometrie 587 // 29.4 Ortogonálna, špeciálna ortogonálna a euklidovská grupa 591 // 29.5 Pseudoortogonálna, Lorentzova a Poincarého grupa 592 // 29.6 Unitárna a špeciálna unitárna grupa 598 // 29.7 Súvislé komponenty a orientácia 600 // 29.8 Homotopia a jednoduchá súvislosť 605 // Cvičenia 608 // 30 Lineárne algebry 612 // 30.1 Algebry a štruktúrne konštanty 612 // 30.2 Graduované algebry 614 // 30.3 Grupové algebry a diskrétna Fourierova transformácia 617 // 30.4 Algebra kvaterniónov 621 // 30.5 Goniometrický tvar kvaterniónu 626 // 30.6 Kvaternióny a rotácie 628 // 30.7 Nakrývajúci homomorfizmus SU(2) —» SO(3) 632 // 30.8 Nakrývajúci homomorfizmus SL(2,C) —> A (3) 634 // Cvičenia 637 // 31 Lieove algebry a maticové grupy 643 // 31.1 Lieove algebry 643 // 31.2 Lieova algebra maticovej grupy 644 // 31.3 Exponenciálne zobrazenie 647 // 31.4 Lieove algebry konkrétnych maticových grúp 649 // 31.5 Jednoparametrické podgrupy pseudoortogonálnej grupy 652 // Cvičenia 653 // V Multilineárna algebra // 32 Úvod do tenzorového počtu 659 // 32.0 Tenzor napätia 659 // 32.1 Dualita 661 // 32.2 Tenzorový súčin 663 // 32.3 Zdvih pofa skalárov 671 // 32.4 Priestory (multi)lineárnych zobrazení 672 // 32.5 Tenzory nad vektorovým priestorom 674 // 32.6 Operácie na tenzoroch 680 // 32.7 Tenzory v (pseudo)euklidovských priestoroch 682 // Cvičenia 685 // 33 Symetrické a alternujúce tenzory 689 // 33.1 Symetrické tenzory 689 // 33.2 Symetrické tenzory a p-homogénne formy 694 // 33.3 Totálne derivácie vyšších rádov 697 // 33.4 Alternujúce tenzory 699 // 33.5 Dualita vo vonkajšej algebre 705 // 33.6 Symetrické a alternujúce tenzory v kvantovej mechanike 707 // Cvičenia 709 // Literatúra 713 // Zoznam symbolov 715 // Register 729